前言#

1.1 商品空间与消费向量#

假设经济中存在 $L$ 种商品，其中 $L$ 为有限正整数。消费者的消费组合可以表示为：

其中 $x_l$ 表示第 $l$ 种商品的消费数量，$l=1,\dots ,L$。

所有消费向量构成的空间称为商品空间（Commodity Space）：

商品不仅可以按照物理属性进行区分，还可以根据消费时间、地点和自然状态进行区分。例如，不同时期交付的同一种商品，在理论上可以视为不同商品。

定义 1：消费集合（Consumption Set）

消费集合 $X\subseteq {\mathbb{R}}^L$ 表示消费者在物理、制度及其他非价格约束下能够选择的消费组合。

通常为简化分析，假设所有商品均可以非负数量连续消费：

该设定包含两个基本限制：

（1）消费数量非负，即不允许负数量消费；

（2）商品可分割，即每种商品可以按任意非负实数数量消费。

一般情况下，消费集合未必等于 ${\mathbb{R}}_{+}^L$。例如，劳动时间受到每日总时间限制，不可分割商品只能以整数数量消费。

1.2 消费集合的凸性#

定义 2：凸集（Convex Set）

集合 $X\subseteq {\mathbb{R}}^L$ 是凸集，当且仅当对于任意 $x,y\in X$ 和 $\lambda \in [0,1]$，有：

即集合中任意两点之间的线段仍然属于该集合。

命题 1：非负正交空间 ${\mathbb{R}}_{+}^L$ 是凸集。

需要注意，消费集合的凸性与偏好的凸性是不同概念。前者描述消费组合是否可行，后者描述消费者如何评价不同消费组合。

2.1 价格与财富#

设商品价格向量为：

其中：

假设消费者拥有财富 $w>0$。

消费组合 $x$ 的总支出为：

其中 $p_l$ 为第 $l$ 种商品的单位价格。

消费者的总支出不得超过财富：

这里假设消费者是价格接受者，所有商品按照给定的线性价格进行交易。

2.2 Walrasian 预算集合#

定义 3：Walrasian 预算集合（Walrasian Budget Set）

给定价格向量 $p\gg 0$ 和财富 $w>0$，消费者的预算集合定义为：

其中：

• $p\in {\mathbb{R}}_{++}^L$：严格为正的价格向量；
• $w>0$：消费者财富；
• $p^{\prime }x\le w$：预算约束。

预算集合是消费集合与预算半空间的交集：

对于两种商品：

预算线满足：

整理得到：

因此，预算线的斜率为：

横轴与纵轴截距分别为：

预算线的斜率反映两种商品的市场交换比例，截距表示财富全部用于购买某一种商品时的最大购买数量。

3.1 非空性、闭性与有界性#

命题 2：预算集合的紧致性

若 $p\gg 0$ 且 $w>0$，则 $B(p,w)$ 是非空紧集（Compact Set）。

证明：

（1）非空性

由于：

因此：

所以 $B(p,w)$ 非空。

（2）闭性

定义：

由于 $f$ 是连续函数：

是闭集。

又因为 ${\mathbb{R}}_{+}^L$ 是闭集，所以：

也是闭集。

（3）有界性

对于任意 $x\in B(p,w)$：

由于 $p_l>0$ 且 $x_l\ge 0$，有：

因此：

故：

预算集合有界。

根据有限维欧氏空间中的 Heine–Borel 定理，闭且有界的集合是紧集。

因此：

证毕。

预算集合的紧致性将在后续利用 Weierstrass 定理证明效用最大化问题的最优解存在性。

注意： 严格正价格是保证预算集合有界的重要条件。如果某种商品价格为零，且可以无限量消费，则预算集合通常无界。

3.2 预算集合的凸性#

命题 3：Walrasian 预算集合是凸集。

预算集合的凸性意味着，任意两个可负担消费组合的加权平均仍然可负担。

3.3 预算集合的零次齐次性#

命题 4：预算集合关于价格和财富具有零次齐次性。

对于任意 $t>0$：

该性质表明，将所有商品价格和财富按相同比例调整，不改变消费者能够购买的消费组合。

因此，预算集合仅由相对价格与实际购买能力决定，而不依赖价格和财富的共同计量尺度。

3.4 预算集合的单调性#

（1）财富变化

给定价格 $p$，若：

则：

即财富增加会扩大预算集合。

（2）价格变化

给定财富 $w$，若：

其中不等式逐元素成立，则对于任意 $x\ge 0$：

因此：

即所有商品价格不下降时，预算集合不会扩大。

需要注意，若部分价格上涨、部分价格下降，两个预算集合通常不存在简单的包含关系。

4.1 需求函数与需求对应#

给定价格向量 $p\in {\mathbb{R}}_{++}^L$ 和财富 $w>0$，消费者面临的预算集合为：

定义 4：Walrasian 需求对应（Walrasian Demand Correspondence）

Walrasian 需求对应将每个价格—财富组合 $(p,w)$ 映射为一个非空的可负担消费组合集合：

满足：

其中 $x(p,w)$ 表示消费者在给定价格和财富下可能选择的消费组合。

若对所有 $(p,w)$，需求对应都只包含一个元素，则称其为需求函数（Demand Function）：

其中 $x_l(p,w)$ 表示第 $l$ 种商品的需求量。

一般情况下，需求对应允许多个消费组合同时被选择；在分析价格与财富的边际影响时，通常进一步假设需求单值、连续且可微。

需要注意，本节尚未假定需求是效用最大化的结果，因此需求可行性本身并不能保证零次齐次性或 Walras 法则。

4.2 需求的零次齐次性#

定义 5：零次齐次性（Homogeneity of Degree Zero）

若对于任意 $t>0$，有：

则称 Walrasian 需求关于价格和财富具有零次齐次性。

对于需求对应，上式表示两个需求集合相等；对于单值需求函数，则表示每种商品的需求量均保持不变：

零次齐次性意味着，所有商品价格与消费者财富同比例变化，不改变消费选择。

这一性质与预算集合的零次齐次性密切相关：

但预算集合相同，并不能仅凭需求可行性保证选择结果相同；还需要消费者的选择规则只取决于可行集合，而不直接受到名义价格和财富共同尺度的影响。

命题 5：零次齐次性的 Euler 恒等式

假设单值需求函数 $x(p,w)$ 连续可微且满足零次齐次性，则对于任意商品 $l$：

将所有商品的 Euler 恒等式写成矩阵形式：

其中：

该恒等式表示：需求受到的所有价格变化效应与财富变化效应，在同比例变动方向上恰好相互抵消。

4.3 Walras 法则#

定义 6：Walras 法则（Walras’ Law）

若对任意 $p\gg 0$、$w>0$ 以及任意 $x\in x(p,w)$，均有：

则称 Walrasian 需求满足 Walras 法则。

对于单值需求函数：

Walras 法则表示消费者在给定价格下恰好用尽全部财富。

需要区分：

是需求可行性的要求，而：

是 Walras 法则施加的更强限制。

注意： Walras 法则并不是任意消费选择都必然满足的性质。例如，消费者可能在某些设定下选择保留未使用的财富。后续效用最大化理论将证明，在适当条件下，局部非饱和性可以保证最优选择满足 Walras 法则。

4.4 Walras 法则的微分限制#

假设需求函数 $x(p,w)$ 连续可微，并满足：

通过对价格与财富求偏导，可以得到两组重要恒等式。

（1）Cournot 加总条件（Cournot Aggregation）

对第 $k$ 种商品价格 $p_k$ 求偏导：

由于求价格偏导时财富 $w$ 保持不变：

利用乘积求导法则：

因此：

矩阵形式为：

（2）Engel 加总条件（Engel Aggregation）

对财富 $w$ 求偏导：

由于价格向量固定：

因此：

矩阵形式为：

Engel 加总条件表明，当财富边际增加一单位时，各种商品需求变化引起的总支出变化恰好等于一单位。

上述两组恒等式均直接来自 Walras 法则和可微性，不需要预先引入效用函数。

5.1 财富效应#

保持价格向量 $p$ 不变，研究财富 $w$ 对商品需求的影响。

定义第 $l$ 种商品的财富效应为：

根据财富效应的符号，可以区分：

（1）正常品（Normal Good）

若：

则第 $l$ 种商品在该价格—财富组合附近为正常品。

（2）低档品（Inferior Good）

若：

则第 $l$ 种商品在该价格—财富组合附近为低档品。

该分类通常是局部性质，可能随价格和财富水平发生变化。

固定价格向量 $\bar{p}$，第 $l$ 种商品的 Engel 函数为：

相应地，财富扩展路径定义为：

Engel 函数描述单一商品需求随财富变化的关系，而财富扩展路径描述整个最优消费组合随财富变化的轨迹。

5.2 价格效应#

保持财富与其他商品价格不变，定义第 $k$ 种商品价格对第 $l$ 种商品需求的影响为：

当 $l=k$ 时，称为自身价格效应：

当 $l\ne k$ 时，称为交叉价格效应：

定义 7：Giffen 商品（Giffen Good）

若第 $l$ 种商品的自身价格效应满足：

则称该商品在当前价格—财富组合附近为 Giffen 商品。

即商品价格上涨时，其需求量反而增加。

注意： 仅有需求的零次齐次性和 Walras 法则，并不能保证自身价格效应非正。后续需要引入显示偏好与补偿价格变化，才能得到更严格的需求限制。

6.1 价格弹性与财富弹性#

在 $x_l(p,w)>0$ 时，定义第 $l$ 种商品对第 $k$ 种商品价格的需求弹性：

其中：

• $l=k$ 时为自身价格弹性；
• $l\ne k$ 时为交叉价格弹性。

定义财富弹性：

财富弹性满足：

6.2 零次齐次性的弹性形式#

由 Euler 恒等式：

在 $x_l(p,w)>0$ 时，两边同除以 $x_l(p,w)$：

因此：

该条件表示，对同一种商品而言，所有价格弹性之和与财富弹性之和为零。

6.3 Walras 法则的弹性形式#

定义第 $l$ 种商品的预算份额：

由 Walras 法则：

（1）Cournot 加总的弹性形式

由：

两边乘以 $p_k/w$：

因此：

（2）Engel 加总的弹性形式

由：

两边乘以 $w/w$，并整理得到：

因此：

该恒等式表示，全部商品的财富弹性以预算份额为权重的加权平均等于 $1$。

7.1 预算集合上的 WARP#

设单值需求满足 $x^i=x(p^i,w^i)$（$i=0,1$）。预算需求的 WARP 要求：

即旧组合在新预算下仍可负担，而消费者改选了不同组合时，新组合必须在旧预算下不可负担。这是选择理论 WARP 在 Walrasian 预算集合上的直接应用。

7.2 WARP 与 Walras 法则#

假设需求函数满足 Walras 法则：

对于两次观察：

如果：

则旧消费组合 $x^0$ 在新预算下可负担。

若 $x^0\ne x^1$，由 WARP：

即新消费组合在旧价格下的成本必须严格超过旧预算。

这为推导补偿需求法则提供了基础。

8.1 Slutsky 财富补偿#

考虑初始价格—财富组合 $(p,w)$，消费者需求为：

假设价格由 $p$ 变化为 $p^{\prime }$。

为了使消费者仍然能够购买原消费组合 $x$，将财富调整为：

由于初始需求满足 Walras 法则：

即：

因此：

这一财富调整称为 Slutsky 补偿（Slutsky Compensation）。

其含义是：价格变化后，给予消费者恰好足以购买原消费组合的财富。

需要注意，Slutsky 补偿保持的是原消费组合的购买能力，并非保持消费者效用水平不变。后者属于 Hicks 补偿，将在支出最小化问题中讨论。

记补偿后的新需求为：

由财富补偿的定义：

其中第二个等号来自 Walras 法则。

8.2 补偿需求法则#

命题 6：补偿需求法则（Law of Compensated Demand）

假设 Walrasian 需求函数 $x(p,w)$ 满足 Walras 法则与 WARP。

对于初始需求：

令价格变化为 $p^{\prime }$，并给予 Slutsky 财富补偿：

设补偿后的需求为：

则：

证明：

由 Slutsky 补偿：

因此，旧消费组合 $x$ 在新预算下可负担。

若 $x^{\prime }=x$，则：

若 $x^{\prime }\ne x$，由 WARP，新的消费组合 $x^{\prime }$ 在旧预算下不可负担：

因此：

另一方面，由 Walras 法则及 Slutsky 补偿：

故：

两式相减：

综上：

证毕。

该命题表明，在给予 Slutsky 财富补偿后，价格变化向量与需求变化向量的内积非正。

这一结论不要求事先存在可微效用函数，而是直接由需求行为的 WARP 与 Walras 法则推导出来。

8.3 单一商品价格变化#

假设只有第 $l$ 种商品价格发生变化：

由补偿需求法则：

因此：

• 若 $p_l^{\prime }>p_l$，则 $x_l^{\prime }\le x_l$；
• 若 $p_l^{\prime }<p_l$，则 $x_l^{\prime }\ge x_l$。

即：

需要注意，这里讨论的是补偿后的需求变化，而不是保持名义财富不变时的 Marshallian 需求变化。

因此，该结论并不排除 Giffen 商品的存在。

9.1 Slutsky 矩阵的定义#

假设 Walrasian 需求函数 $x(p,w)$ 连续可微。

定义价格导数矩阵：

定义财富导数向量：

定义 9：Slutsky 替代矩阵（Slutsky Substitution Matrix）

其中：

其第 $(l,k)$ 个元素为：

该矩阵描述价格变化并给予 Slutsky 财富补偿时，需求的局部变化。

9.2 Slutsky 矩阵的推导#

设初始价格和财富为 $(p,w)$，需求为：

考虑价格沿方向 $q\in {\mathbb{R}}^L$ 变化：

为了保持原消费组合 $x$ 可负担，定义补偿后的财富：

由于初始需求满足 Walras 法则：

所以：

补偿后的需求路径为：

对 $t$ 求导，根据链式法则：

因此：

特别地，当 $q=e_k$ 为第 $k$ 个标准基向量时：

所以 Slutsky 矩阵的各元素可以解释为相应的局部补偿价格效应。

10.1 半负定性#

命题 7：Slutsky 矩阵的半负定性

若单值需求函数 $x(p,w)$ 连续可微，并满足 Walras 法则和 WARP，则对于任意 $q\in {\mathbb{R}}^L$：

即 Slutsky 矩阵具有半负定的二次型。

证明：

令：

记：

由于 $w(t)=p(t{)}^{\top }x(0)$，该变化属于 Slutsky 补偿。

根据补偿需求法则：

代入 $p(t)-p=tq$：

对任意足够小的 $t\ne 0$，两边除以 $t^2>0$：

令 $t\to 0$，由需求函数的连续可微性：

因此：

证毕。

需要注意，矩阵不对称时，二次型条件：

等价于其对称部分：

为半负定矩阵，并不意味着 $S$ 自身对称。

因此：

但不能据此直接推出：

10.2 Slutsky 矩阵的自身价格效应#

由半负定性，取第 $l$ 个标准基向量 $e_l$：

因此：

整理得到：

由此可以推导 Giffen 商品与低档品之间的关系。

命题 8：Giffen 商品必然是低档品

假设 $x_l(p,w)>0$，且需求满足上述 Slutsky 限制。

若第 $l$ 种商品为 Giffen 商品，即：

则必有：

所以：

但反向结论不成立。低档品不一定是 Giffen 商品。

10.3 Slutsky 矩阵的零次齐次性限制#

若需求函数满足零次齐次性，则由 Euler 恒等式：

根据 Walras 法则：

因此：

故：

这意味着价格向量 $p$ 属于 Slutsky 矩阵的零空间，因此：

特别地，Slutsky 矩阵不可能是严格负定矩阵，因为存在非零向量 $p$ 满足：

10.4 Slutsky 矩阵的加总限制#

根据 Walras 法则的 Cournot 加总条件：

以及 Engel 加总条件：

因此：

即：

因此，Slutsky 矩阵同时满足：

需要区分两者的来源：

• $Sp=0$：由需求零次齐次性与 Walras 法则推出；
• $p^{\top }S=0$：由 Walras 法则的微分限制推出。

以上恒等式并不要求 $S$ 对称。

1.1 连续性#

定义 1：连续偏好（Continuous Preference）

偏好关系 $⪰$ 是连续的，当且仅当对于任意 $x\in X$，以下两个集合均为 $X$ 中的闭集：

上轮廓集（Upper Contour Set）：

下轮廓集（Lower Contour Set）：

其中：

• $U(x)$ 表示所有至少与 $x$ 一样好的消费组合；
• $L(x)$ 表示所有不优于 $x$ 的消费组合。

连续性要求，当一列消费组合收敛时，偏好比较关系不会在极限处突然发生变化。

命题 1：连续偏好的序列刻画

在 $X={\mathbb{R}}_{+}^L$ 上，偏好关系 $⪰$ 连续，当且仅当对任意收敛序列 $x^n\to x$、$y^n\to y$：

注意： 连续性不是理性偏好的必要条件。完备且传递的偏好仍可能不连续。

例如，二维商品空间上的字典序偏好：

取：

对于任意 $n$：

但：

且：

因此字典序偏好不连续。

1.2 强单调性与弱单调性#

商品数量之间的逐元素大小关系记为：

定义：

以及：

定义 2：弱单调性（Weak Monotonicity）

如果：

则称偏好关系具有弱单调性。

其含义是，在其他条件不变时，增加商品数量不会使消费者变得更差。

定义 3：强单调性（Strong Monotonicity）

如果：

则称偏好关系具有强单调性。

其含义是，只要至少一种商品数量增加，且其他商品数量不减少，消费者就会严格偏好新的消费组合。

强单调性显然蕴含弱单调性：

但反向结论不成立。

例如：

所代表的偏好满足弱单调性，但增加第二种商品数量不会提高效用，因此不满足强单调性。

注意： 有些文献将“所有商品数量均严格增加时严格偏好”的条件称为严格单调性，即：

这一条件弱于此处定义的强单调性。讨论单调性时应根据具体数学定义判断，不能仅依靠名称。

1.3 局部非饱和性#

定义 4：局部非饱和性（Local Nonsatiation）

偏好关系 $⪰$ 满足局部非饱和性，当且仅当对于任意 $x\in X$ 和任意 $\epsilon >0$，存在 $y\in X$，使得：

即在任意消费组合的任意小邻域内，都存在严格更优的消费组合。

局部非饱和性排除了局部最优的饱和点，但并不要求所有商品数量增加都会改善消费者福利。

命题 2：强单调性蕴含局部非饱和性。

局部非饱和性比强单调性更弱。

例如：

所代表的偏好不满足强单调性，但仍满足局部非饱和性，因为任意增加少量第一种商品都能严格提高效用。

命题 3：局部非饱和性保证预算约束取等号。

设消费者面临预算集合：

其中 $p\gg 0$、$w>0$。

若偏好满足局部非饱和性，并且 $x^{\ast }$ 为预算集合中的最优消费组合，则：

证明：

采用反证法。

假设：

令剩余财富为：

由于价格严格为正，可以取足够小的 $\epsilon >0$，使得对于任意满足：

的消费组合 $y\in X$，均有：

根据局部非饱和性，存在 $y\in X$，满足：

同时：

因此：

这与 $x^{\ast }$ 为最优消费组合矛盾。

故：

证毕。

这一命题是后续推导 Walras 法则的重要理论基础。

1.4 凸偏好#

定义 5：凸偏好（Convex Preference）

偏好关系 $⪰$ 是凸的，当且仅当对于任意 $x\in X$，上轮廓集：

是凸集。

即对于任意 $y,z\in X$，若：

则对任意 $\lambda \in [0,1]$：

凸偏好的含义是，如果两个消费组合至少与某个基准组合一样好，那么这两个组合的加权平均也至少与该基准组合一样好。

命题 4：凸偏好的等价刻画

若 $⪰$ 是完备且传递的偏好关系，则凸性等价于：

这里的 ${\min }_{⪰}\{x,y\}$ 表示两者中偏好排序较低的消费组合。

特别地，若：

则凸性要求：

即消费者至少不排斥两个无差异消费组合的平均组合。

证明：

先假设偏好凸。

由于完备性，不失一般性地设：

由自反性：

因此 $x,y\in U(y)$。

由上轮廓集的凸性：

故：

反之，若上述加权平均性质成立，任取 $y,z\in U(x)$，则：

根据完备性，不失一般性地设：

由加权平均性质：

又因为：

由传递性：

因此 $U(x)$ 为凸集。

证毕。

1.5 严格凸偏好#

定义 6：严格凸偏好（Strictly Convex Preference）

偏好关系 $⪰$ 是严格凸的，当且仅当对于任意不同的 $x,y\in X$，若：

则对于任意 $\lambda \in (0,1)$：

严格凸性表示，相比两个不同消费组合中较差的一个，二者的严格加权平均总是更优。

严格凸性蕴含凸性：

但凸偏好不一定严格凸。

例如，完全替代偏好：

是凸的，但不是严格凸的。

取：

有：

但：

因此：

所以该偏好不满足严格凸性。

严格凸性将在后续用于证明消费者最优选择的唯一性。

2.1 效用表示的定义#

定义 7：效用函数（Utility Function）

设偏好关系 $⪰$ 定义在消费集合 $X$ 上。

如果存在函数：

使得对于任意 $x,y\in X$：

则称 $u$ 是偏好关系 $⪰$ 的一个效用表示（Utility Representation）。

由此可得：

效用函数将偏好排序转化为实数排序，因此能够用数学优化方法分析消费者选择。

需要注意，效用函数的数值本身不具有独立的经济含义。

例如：

不意味着该消费组合带来的满足程度是：

的两倍。

在标准消费者理论中，效用首先是序数效用（Ordinal Utility），而不是基数效用（Cardinal Utility）。

2.2 效用表示的单调变换#

命题 5：严格递增变换保持效用表示。

假设 $u:X\to \mathbb{R}$ 表示偏好关系 $⪰$，且函数：

严格递增。

定义：

则 $v$ 也表示同一个偏好关系。

例如，对于：