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前言#

本文主要依据 Daron Acemoglu（2009）Introduction to Modern Economic Growth 第 2 章 The Solow Growth Model和第 3 章 The Solow Model and the Data整理。

一、索洛模型的经济环境与新古典生产函数#

1. 基本经济环境（§2.1）#

考虑一个封闭经济，经济活动包含家庭、企业和一种同质最终产品。该最终产品既可以消费，也可以转化为下一期生产使用的资本。家庭拥有资本和劳动，劳动供给为非弹性；企业在给定要素价格条件下逐期利润最大化，要素市场具有竞争性。技术可供所有企业免费使用，即模型中技术具有非竞争性和非排他性的设定。

核心区别： 家庭没有求解跨期效用最大化问题，而是遵循外生给定的固定储蓄率规则。这并不意味着企业没有最优化行为，也不意味着模型不要求竞争性市场出清。

基本变量：

$Y (t)$ ：总产出； $K (t)$ ：物质资本存量； $L (t)$ ：劳动投入； $A (t)$ ：技术水平；
$C (t)$ ：消费； $I (t)$ ：投资； $S (t)$ ：储蓄；
$s \in (0, 1)$ ：外生储蓄率； $δ$ ：资本折旧率； $n$ ：劳动增长率； $g$ ：劳动增进型技术增长率；
$R (t)$ ：资本的租赁价格； $w (t)$ ：每单位劳动工资； $r (t)$ ：扣除折旧的资本净回报率。

总量生产函数为：

Y (t) = F (K (t), L (t), A (t)) . (2.1)

生产函数关于 $K, L$ 满足新古典性质，而 $A$ 表示生产技术的状态参数。 $A$ 不需要在原始设定中就限定为劳动增进型，技术进步的具体形式留到 §2.7 讨论。

2. 假设 1：生产函数的常规性质（Assumption 1）#

假设 1（连续性、可微性、正且递减的边际产出、规模报酬不变）： $F : R_{+}^{3} \to R_{+}$ ，对于 $K, L$ 二次可微，满足

F_{K} > 0, F_{L} > 0, F_{KK} < 0, F_{LL} < 0.

其中 $F_{K} = \partial F / \partial K$ ， $F_{KK} = \partial^{2} F / \partial K^{2}$ ，其余记号类似。同时，对于任意 $λ > 0$ ：

F (λ K, λ L, A) = λ F (K, L, A) .

后一个条件是对资本和劳动的一次齐次性（Constant Returns to Scale，CRS）。技术 $A$ 保持不变。

$F_{K} > 0$ ：资本增加会提高产出； $F_{KK} < 0$ ：只增加资本时，其边际产出递减；
$F_{L} > 0$ ：劳动增加会提高产出； $F_{LL} < 0$ ：只增加劳动时，其边际产出递减；
CRS：同时将资本和劳动增加 $λ$ 倍，产出增加 $λ$ 倍。

必须区分： 资本边际报酬递减与总体规模报酬不变不矛盾，因为二者改变的投入组合不同。

3. 欧拉定理（Theorem 2.1）#

若函数 $F (K, L, A)$ 对 $K, L$ 齐次、次数为 $m$ ，则欧拉定理给出：

m F (K, L, A) = F_{K} (K, L, A) K + F_{L} (K, L, A) L .

证明： 定义 $h (λ) = F (λ K, λ L, A)$ 。根据齐次性：

h (λ) = λ^{m} F (K, L, A) .

分别对 $λ$ 求导：

h^{'} (λ) h^{'} (λ) = F_{K} (λ K, λ L, A) K + F_{L} (λ K, λ L, A) L, = m λ^{m - 1} F (K, L, A) .

令 $λ = 1$ ，即得结论。对于本模型的 $m = 1$ ：

F (K, L, A) = F_{K} K + F_{L} L .

这是后续证明竞争均衡零利润与要素收入份额的基本工具。

4. 企业利润最大化与要素市场出清（§2.1.3）#

最终产品价格标准化为 1。企业在给定 $R, w, A$ 时选择资本和劳动：

K, L \geq 0 max F (K, L, A) - R K - w L . (2.5)

由于生产函数为 CRS，单个企业的规模不一定唯一。原书特别指出：不能只根据上述利润问题确定企业规模；还必须要求要素市场出清，即总资本需求与劳动需求分别等于各自供给。在内点竞争均衡中：

w (t) = F_{L} (K (t), L (t), A (t)), R (t) = F_{K} (K (t), L (t), A (t)) . (2.6-2.7)

因此经济利润为：

Π = Y - R K - w L = F (K, L, A) - F_{K} K - F_{L} L = 0.

命题 2.1（零利润）： 在假设 1 和竞争性要素市场均衡下，

Y (t) = R (t) K (t) + w (t) L (t) .

家庭持有资本的净利率与资本租赁价格不是同一变量。在原书折旧设定下：

r (t) = R (t) - δ .

资本净利率并没有像 Ramsey 模型那样，通过家庭的 Euler 方程内生决定储蓄率。

5. 假设 2：Inada 条件（Assumption 2）#

假定对于给定正的劳动和技术：

K \to 0 lim F_{K} (K, L, A) = \infty, K \to \infty lim F_{K} (K, L, A) = 0,

对于给定正的资本和技术：

L \to 0 lim F_{L} (K, L, A) = \infty, L \to \infty lim F_{L} (K, L, A) = 0.

还要求：

F (0, L, A) = 0.

即资本为必要生产要素。Inada 条件保证极少资本时资本边际产出极高、极多资本时资本边际产出趋近于零；它为正稳态的存在性与唯一性提供方便的充分条件，但并不意味着只有满足 Inada 条件的生产函数才能有稳定稳态。

6. 密集形式（Intensive Form）#

当 $A$ 固定时定义：

k \equiv \frac{K}{L}, y \equiv \frac{Y}{L} .

由 CRS，取 $λ = 1/ L$ ：

y = \frac{F ( K , L , A )}{L} = F (\frac{K}{L}, 1, A) \equiv f (k) .

因此：

y = f (k), f^{'} (k) > 0, f^{''} (k) < 0, f (0) = 0.

资本与劳动的边际报酬可以用同一个单变量函数表示：

R = f^{'} (k), w = f (k) - k f^{'} (k) .

工资公式的推导： 由 $F (K, L, A) = L f (K / L)$ ，

F_{L} = f (k) + L f^{'} (k) \frac{\partial ( K / L )}{\partial L} = f (k) + L f^{'} (k) (- \frac{K}{L ^{2}}) = f (k) - k f^{'} (k) .

7. Cobb–Douglas 生产函数（Example 2.1）#

设：

Y = A K^{α} L^{1 - α}, A > 0, 0 < α < 1.

则：

y = A k^{α},

R w = f^{'} (k) = α A k^{α - 1}, = f (k) - k f^{'} (k) = (1 - α) A k^{α} .

资本收入份额为：

\frac{R K}{Y} = \frac{α A k ^{α - 1} k}{A k ^{α}} = α .

劳动收入份额为：

\frac{w L}{Y} = 1 - α .

这两个份额在 Cobb–Douglas 生产函数和竞争性市场条件下保持不变。一般新古典生产函数没有要求要素收入份额一定恒定。

二、离散时间索洛模型：资本积累、稳态与黄金律#

1. 资源约束和外生储蓄规则（§2.2.1）#

离散时间 $t = 0, 1, 2, \dots$ 。总资本运动为：

K (t + 1) = (1 - δ) K (t) + I (t) . (2.8)

封闭经济资源约束：

Y (t) = C (t) + I (t) . (2.9)

家庭储蓄与消费：

S (t) = s Y (t), C (t) = (1 - s) Y (t) . (2.10-2.11)

由商品与资本市场出清， $I (t) = S (t) = s Y (t)$ ，代入资本积累方程：

K (t + 1) = (1 - δ) K (t) + s Y (t) = (1 - δ) K (t) + s F (K (t), L (t), A (t)) .

从而得到索洛模型基本运动方程：

K (t + 1) = s F (K (t), L (t), A (t)) + (1 - δ) K (t) . (2.12)

这里的储蓄是外生行为规则，不是解家庭效用最大化得到的最优储蓄。

2. 什么是动态均衡？（Definition 2.2）#

给定 $K (0)$ 和外生路径 ${L (t), A (t)}$ ，一条均衡路径包含：

{K (t), Y (t), C (t), w (t), R (t)}_{t = 0}^{\infty},

并逐期满足资本积累、生产、消费和要素价格等方程。换言之，均衡描述的是整条配置及价格的时间路径，而不仅仅是长期稳态数值。

3. 无人口增长、无技术进步时的密集形式#

首先采用原书 §2.2 的简化设定：

L (t) = L, A (t) = A .

定义 $k (t) = K (t) / L$ ，由生产函数的 CRS：

k (t + 1) = \frac{K ( t + 1 )}{L} = \frac{s F ( K ( t ) , L , A )}{L} + (1 - δ) \frac{K ( t )}{L} = s f (k (t)) + (1 - δ) k (t) .

因此：

k (t + 1) = s f (k (t)) + (1 - δ) k (t) . (2.17)

等价地：

k (t + 1) - k (t) = s f (k (t)) - δ k (t) .

$s f (k)$ ：人均投资；
$δ k$ ：维持原有人均资本所需要的折旧补偿投资；
$s f (k) - δ k$ ：人均资本的净变化。

4. 正稳态定义与方程（Definition 2.3）#

定义： 若沿均衡路径 $k (t + 1) = k (t) = k^{*} > 0$ ，则 $k^{*}$ 为正稳态资本劳动比。

代入式 (2.17)：

k^{*} = s f (k^{*}) + (1 - δ) k^{*} .

故：

s f (k^{*}) = δ k^{*} . (2.18)

等价写法：

\frac{f ( k ^{*} )}{k ^{*}} = \frac{δ}{s} .

稳态产出和消费为：

y^{*} = f (k^{*}), c^{*} = (1 - s) f (k^{*}) .

注意： $k = 0$ 在 $f (0) = 0$ 时也是资本运动方程的边界不动点。原书讨论的存在、唯一性和全局稳定性命题指唯一的正稳态，并要求正的初始资本。

5. 正稳态存在性和唯一性（Proposition 2.2）#

命题： 在假设 1、2 下，存在唯一正稳态 $k^{*} \in (0, \infty)$ 。

（1）存在性。 定义平均资本产出函数：

q (k) = \frac{f ( k )}{k} .

由假设 2 及相应的极限性质：

k \to 0^{+} lim q (k) = \infty, k \to \infty lim q (k) = 0.

由于 $q$ 在 $k > 0$ 上连续，而 $δ / s > 0$ ，根据介值定理，至少存在一个 $k^{*} > 0$ 满足 $q (k^{*}) = δ / s$ 。

（2）唯一性。 对 $q (k)$ 求导：

q^{'} (k) = \frac{k f ^{'} ( k ) - f ( k )}{k ^{2}} = - \frac{f ( k ) - k f ^{'} ( k )}{k ^{2}} = - \frac{w ( k )}{k ^{2}} < 0.

因此 $q (k)$ 严格递减，只能与水平线 $δ / s$ 相交一次。故正稳态存在且唯一。

图形理解： 横轴为 $k$ ，纵轴为人均投资。凹函数 $s f (k)$ 与直线 $δ k$ 的唯一正交点决定 $k^{*}$ 。当 $k < k^{*}$ 时投资超过折旧， $k$ 增加；当 $k > k^{*}$ 时折旧超过投资， $k$ 减少。

6. Cobb–Douglas 稳态的显式解#

设：

f (k) = A k^{α}, 0 < α < 1.

稳态条件：

s A (k^{*})^{α} = δ k^{*} .

对正 $k^{*}$ ，两边同除以 $(k^{*})^{α}$ ：

(k^{*})^{1 - α} = \frac{s A}{δ} .

于是：

k^{*} = (\frac{s A}{δ})^{\frac{1}{1 - α}} .

进一步：

y^{*} = A (\frac{s A}{δ})^{\frac{α}{1 - α}} .

c^{*} = (1 - s) y^{*} .

7. 比较静态（Proposition 2.3）#

考虑 $f (k) = A \tilde{f} (k)$ ，其中 $A$ 作为 Hicks 中性生产率参数。稳态隐式方程：

H (k^{*}; s, A, δ) = s A \tilde{f} (k^{*}) - δ k^{*} = 0.

利用隐函数定理：

\frac{\partial k ^{*}}{\partial s} = - \frac{H _{s}}{H _{k}} = \frac{A f ~ ( k ^{*} )}{δ - s A f ~ ^{'} ( k ^{*} )} > 0.

由于正稳态处 $\tilde{f}^{'} (k^{*}) < \tilde{f} (k^{*}) / k^{*}$ ，并且 $s A \tilde{f} (k^{*}) / k^{*} = δ$ ，故分母严格为正。类似得到：

\frac{\partial k ^{*}}{\partial A} > 0, \frac{\partial k ^{*}}{\partial s} > 0, \frac{\partial k ^{*}}{\partial δ} < 0.

并且由于 $f^{'} (k) > 0$ ，相同方向的结论也适用于稳态人均产出 $y^{*}$ 。

不能推断： 储蓄率越高，稳态消费就一定越高，因为提高储蓄率同时提高产出和减少消费占比。

8. 黄金律资本与黄金律储蓄率（Proposition 2.4）#

稳态消费：

c^{*} = (1 - s) f (k^{*}) = f (k^{*}) - s f (k^{*}) = f (k^{*}) - δ k^{*} .

将 $k^{*}$ 视为储蓄率 $s$ 的函数，对 $s$ 求导：

\frac{d c ^{*}}{d s} = [f^{'} (k^{*}) - δ] \frac{d k ^{*}}{d s} .

由 $d k^{*} / d s > 0$ ，内部最优储蓄率须满足：

f^{'} (k_{gold}) = δ . (2.23)

由于 $f^{''} (k) < 0$ ，当 $k < k_{gold}$ 时，提高资本存量会提高稳态消费；当 $k > k_{gold}$ 时，资本过多，反而降低稳态消费。由严格凹性得到唯一的稳态消费最大值。

Cobb–Douglas 特例： $f (k) = A k^{α}$ ，黄金律条件为 $α A k_{gold}^{α - 1} = δ$ ；与稳态条件 $s A k_{gold}^{α - 1} = δ$ 比较：

s_{gold} = α .

黄金律最大化的是稳态消费水平，不涉及对当前和未来消费进行效用加权。因此，它不是 Ramsey 模型的社会计划者跨期最优解。

三、离散时间的过渡动态与稳定性#

1. 资本更新映射（§2.3）#

定义：

G (k) = s f (k) + (1 - δ) k .

模型变为一维差分方程：

k (t + 1) = G (k (t)) .

稳态满足：

G (k^{*}) = k^{*} .

在 $(k (t), k (t + 1))$ 平面中，曲线 $k (t + 1) = G (k (t))$ 与 $4 5^{\circ}$ 线交点决定稳态。由 $G^{'} (k) = s f^{'} (k) + 1 - δ > 0$ （在通常的 $0 < δ \leq 1$ 下），更新映射递增，因此可借助迭代阶梯图理解资本动态。

2. 局部渐近稳定（Definition 2.4；Theorems 2.2—2.3）#

定义一个扰动 $e_{t} = k (t) - k^{*}$ 。在稳态附近一阶泰勒展开：

G (k (t)) \approx G (k^{*}) + G^{'} (k^{*}) [k (t) - k^{*}] .

由于 $G (k^{*}) = k^{*}$ ，有：

e_{t + 1} \approx G^{'} (k^{*}) e_{t} .

反复迭代：

e_{t} \approx [G^{'} (k^{*})]^{t} e_{0} .

于是局部渐近稳定的充分条件是：

∣ G^{'} (k^{*}) ∣ < 1.

对于索洛模型：

G^{'} (k^{*}) = 1 - δ + s f^{'} (k^{*}) .

由边际产出递减、 $f (0) = 0$ 和正稳态关系，得到：

f^{'} (k^{*}) < \frac{f ( k ^{*} )}{k ^{*}} = \frac{δ}{s} .

所以：

G^{'} (k^{*}) < 1.

在 $0 < δ \leq 1$ 且 $f^{'} (k^{*}) > 0$ 时 $G^{'} (k^{*}) \geq 0$ ，因此 $∣ G^{'} (k^{*}) ∣ < 1$ ，正稳态局部渐近稳定。

对一般多维线性差分系统 $x_{t + 1} = B x_{t}$ ，原书 Theorem 2.2 使用特征值绝对值严格小于 1 的条件判断稳定性；Theorem 2.3 通过稳态处的雅可比矩阵，将该结论推广到非线性系统的局部分析。

3. 全局渐近稳定（Proposition 2.5）#

命题： 在假设 1、2 下，从任意正的 $k (0) > 0$ 出发，资本劳动比单调收敛到唯一正稳态 $k^{*}$ 。

（1）若 $k (0) < k^{*}$ ：

\frac{f ( k ( 0 ))}{k ( 0 )} > \frac{f ( k ^{*} )}{k ^{*}} = \frac{δ}{s} .

因此：

k (1) - k (0) = s f (k (0)) - δ k (0) > 0.

另一方面，由 $G$ 严格递增且 $k (0) < k^{*}$ ：

k (1) = G (k (0)) < G (k^{*}) = k^{*} .

因此 ${k (t)}$ 单调增加且以上界 $k^{*}$ 为界。单调有界数列必收敛，设极限为 $\overset{ˉ}{k} \in (0, k^{*}]$ 。由 $G$ 连续：

\overset{ˉ}{k} = t \to \infty lim k (t + 1) = G (t \to \infty lim k (t)) = G (\overset{ˉ}{k}) .

因为正不动点唯一， $\overset{ˉ}{k} = k^{*}$ 。

（2）若 $k (0) > k^{*}$ ： 相同论证得到：

k^{*} < k (1) < k (0) .

资本劳动比单调下降且以下界 $k^{*}$ 为界，因此收敛到 $k^{*}$ 。

由此得到全局稳定性。这比仅验证 $∣ G^{'} (k^{*}) ∣ < 1$ 的局部稳定结果更强。

4. 要素价格的过渡变化（Proposition 2.6）#

由：

R (t) = f^{'} (k (t)), w (t) = f (k (t)) - k (t) f^{'} (k (t)) .

对 $k$ 求导：

\frac{d R}{d k} = f^{''} (k) < 0,

\frac{d w}{d k} = f^{'} (k) - f^{'} (k) - k f^{''} (k) = - k f^{''} (k) > 0.

因此，如果经济从 $k (0) < k^{*}$ 出发，资本逐渐积累，则资本租赁价格逐渐下降，而工资逐渐上升；从 $k (0) > k^{*}$ 出发时，方向相反。

四、连续时间索洛模型与人口增长#

1. 连续时间资本运动（§2.4）#

在连续时间下，资本积累是微分方程：

\dot{K} (t) = s F (K (t), L (t), A) - δK (t) .

原书在这一部分允许劳动按恒定外生速度增长：

\frac{L ˙ ( t )}{L ( t )} = n, L (t) = L (0) e^{n t} . (2.32)

定义资本劳动比：

k (t) = \frac{K ( t )}{L ( t )} .

对其求导：

\dot{k} = \frac{K ˙ L - K L ˙}{L ^{2}} = \frac{K ˙}{L} - \frac{K}{L} \frac{L ˙}{L} .

代入 $\dot{K} = s Y - δK$ 、 $\dot{L} / L = n$ ：

\dot{k} = \frac{s Y - δK}{L} - nk = s f (k) - (δ + n) k .

所以：

\dot{k} = s f (k) - (δ + n) k . (2.33)

或写作增长率形式：

\frac{k ˙}{k} = s \frac{f ( k )}{k} - (δ + n) .

经济含义： 为维持资本劳动比不变，既要补偿资本折旧 $δ k$ ，还要为新增长的劳动配置资本 $nk$ 。因此 $(δ + n) k$ 称为保本投资（break-even investment）。

2. 离散人口增长的精确式与连续式不能混用#

若在离散时间中额外假定：

L (t + 1) = (1 + n) L (t),

则精确人均资本运动式是：

k (t + 1) = \frac{s f ( k ( t )) + ( 1 - δ ) k ( t )}{1 + n} .

因而：

k (t + 1) - k (t) = \frac{s f ( k ( t )) - ( δ + n ) k ( t )}{1 + n} .

它与连续时间的：

\dot{k} = s f (k) - (δ + n) k

在形式上接近，但不是同一个数学方程。原书先讨论无人口增长的离散时间模型，之后在连续时间中系统引入人口增长。不能未经说明把连续式直接当作离散精确式。

3. 正稳态及比较静态（Propositions 2.7—2.8）#

连续时间稳态要求：

\dot{k} = 0.

因此：

s f (k^{*}) = (δ + n) k^{*} . (2.34)

在假设 1、2 下存在唯一正稳态。对于 $f (k) = A k^{α}$ ：

k^{*} = (\frac{s A}{δ + n})^{\frac{1}{1 - α}} .

由此：

\frac{\partial k ^{*}}{\partial s} > 0, \frac{\partial k ^{*}}{\partial A} > 0, \frac{\partial k ^{*}}{\partial δ} < 0, \frac{\partial k ^{*}}{\partial n} < 0.

长期稳态下， $k$ 和人均产出 $y$ 不增长；但是总资本、总产出可以随着劳动增长而以 $n$ 增长：

g_{K} = g_{Y} = g_{L} = n, g_{K / L} = g_{Y / L} = 0.

4. 连续时间稳定性（§2.5；Proposition 2.9）#

定义：

H (k) = s f (k) - (δ + n) k, \dot{k} = H (k) .

局部线性化：

\overset{e}{˙} (t) \approx H^{'} (k^{*}) e (t), e (t) = k (t) - k^{*} .

线性微分方程的解：

e (t) \approx e (0) e^{H^{'} (k^{*}) t} .

若 $H^{'} (k^{*}) < 0$ ，则 $e (t) \to 0$ 。因为：

H^{'} (k^{*}) = s f^{'} (k^{*}) - (δ + n) < s \frac{f ( k ^{*} )}{k ^{*}} - (δ + n) = 0,

所以局部渐近稳定。又由于 $k < k^{*}$ 时 $H (k) > 0$ ， $k > k^{*}$ 时 $H (k) < 0$ ，故还可以得到从任意正初始资本出发的全局渐近稳定。

原书 Theorems 2.4—2.5 分别总结线性与非线性微分方程的稳定性条件：线性系统主要看系数矩阵特征值实部；非线性系统考察稳态处的雅可比矩阵。

5. Cobb–Douglas模型的精确动态解（Example 2.2）#

考虑：

\dot{k} = s A k^{α} - (δ + n) k .

令：

x (t) = k (t)^{1 - α} .

则链式法则给出：

\overset{x}{˙} = (1 - α) k^{- α} \dot{k} .

代入资本动态：

\overset{x}{˙} = (1 - α) k^{- α} [s A k^{α} - (δ + n) k] = (1 - α) s A - (1 - α) (δ + n) x .

令 $b = (1 - α) (δ + n) > 0$ 、 $a = (1 - α) s A$ ，线性方程为：

\overset{x}{˙} + b x = a .

乘以积分因子 $e^{b t}$ ：

\frac{d}{d t} [x (t) e^{b t}] = a e^{b t} .

从 0 积分到 $t$ ：

x (t) e^{b t} - x (0) = \frac{a}{b} (e^{b t} - 1) .

因此：

x (t) = \frac{a}{b} + (x (0) - \frac{a}{b}) e^{- b t} = \frac{s A}{δ + n} + [k (0)^{1 - α} - \frac{s A}{δ + n}] e^{- (1 - α) (δ + n) t} .

恢复 $k (t)$ ：

k (t) = [\frac{s A}{δ + n} + (k (0)^{1 - α} - \frac{s A}{δ + n}) e^{- (1 - α) (δ + n) t}]^{\frac{1}{1 - α}} .

这个闭式解说明 $k (t)^{1 - α}$ 与其稳态之间的差距按速度 $(1 - α) (δ + n)$ 指数衰减；在稳态附近，人均资本的对数缺口具有相同的局部收敛率。

6. CES生产函数及替代弹性（Example 2.3）#

Cobb–Douglas 是要素替代弹性等于 1 的特殊情况。更一般的 CES（Constant Elasticity of Substitution）函数为：

Y = A_{H} [γ (A_{K} K)^{\frac{σ - 1}{σ}} + (1 - γ) (A_{L} L)^{\frac{σ - 1}{σ}}]^{\frac{σ}{σ - 1}} . (2.38)

其中 $γ \in (0, 1)$ ， $A_{H}, A_{K}, A_{L} > 0$ ， $σ$ 为资本与劳动的替代弹性：

σ = - [\frac{\partial ln ( F _{K} / F _{L} )}{\partial ln ( K / L )}]^{- 1} .

说明：在保持技术参数不变时，沿同一等产量线调整 $K / L$ ，边际技术替代率 $F_{K} / F_{L}$ 的变化决定替代弹性。这里符号中的负号用于使通常的替代弹性为正。

典型极限：

$σ \to 1$ ：Cobb–Douglas；
$σ \to 0$ ：Leontief型固定比例；
$σ \to \infty$ ：资本和劳动完全替代的线性形式。

适用条件提示： 并非所有CES参数组合都满足完整的 Inada 条件。原书练习2.24要求证明：式 (2.38) 一般在 $σ \neq = 1$ 时违反假设2，因此不能无条件照搬标准新古典模型的全部证明。

五、持续增长：从资本边际收益递减到 AK 模型#

1. 标准索洛模型为什么没有持续的人均增长？（§2.6）#

在无技术进步的连续时间模型中：

\frac{k ˙}{k} = s \frac{f ( k )}{k} - (δ + n) .

由于 $f (k) / k$ 随资本积累下降，资本劳动比越高，剩余可用于推动进一步资本深化的产出比例越小。模型逐渐接近稳态，最终 $\dot{k} = 0$ 。

因此，在严格的资本边际收益递减、固定储蓄率和没有技术进步的标准设定下，人均收入不能永久保持正增长。

2. AK生产函数（§2.6；Proposition 2.10）#

放松资本边际收益递减，设：

Y = A K, A > 0.

人均形式：

y = A k, f^{'} (k) = A .

注意这里的 $A$ 是恒定的资本生产率参数，与下一节随时间增长的劳动增进型技术变量并非同一设定。

资本运动为：

\dot{k} = s A k - (δ + n) k .

两边除以 $k > 0$ ：

\frac{k ˙}{k} = s A - δ - n .

若：

s A > δ + n,

则存在持续的人均增长：

k (t) = k (0) e^{(s A - δ - n) t}, y (t) = A k (t) .

在该特例中，长期增长率取决于储蓄率、资本生产率、折旧率和人口增长率。这与标准索洛模型不同，原因是AK生产函数不满足资本边际产出递减与Inada条件。

3. AK 与标准索洛模型对照#

项目	标准新古典Solow	AK模型
人均生产函数	凹函数 $f (k)$	$A k$
资本边际产出	递减	恒定
正稳态	通常存在且唯一	正增长时没有有限正稳态
储蓄率长期作用	改变收入水平	可改变长期增长率
持续人均增长	需要技术等持续增长力量	可以来自持续的资本积累

六、技术进步、Uzawa定理与平衡增长路径#

1. 平衡增长路径（Balanced Growth Path，BGP；§2.7）#

原书从 Kaldor 风格化事实出发讨论长期增长，典型特征包括：

总资本 $K$ 、总产出 $Y$ 、总消费 $C$ 以相同的恒定比例增长；
资本产出比 $K / Y$ 恒定；
资本租赁价格 $R$ 长期恒定；
资本与劳动的收入份额长期相对稳定。

这些是描述长期数据的近似规律，不是对所有国家、所有年份严格成立的恒等式。

BGP（平衡增长路径）与无技术进步时的静止稳态不同：在BGP中，经济总量与实际人均变量可以持续增长，但经过适当标准化的变量保持不变。

2. 技术进步的三种形式（§2.7.2）#

（1）Hicks 中性：

Y = A (t) F (K, L) .

（2）Solow 中性／资本增进型：

Y = F (A (t) K, L) .

（3）Harrod 中性／劳动增进型：

Y = F (K, A (t) L) .

对于一般生产函数，这些技术进步形式不可直接互换。对于 Cobb–Douglas 特例，若技术同时作用于资本和劳动，某些不同表示可以经参数变换转写为劳动增进型。

例如：

Y = (A_{K} K)^{α} (A_{L} L)^{1 - α} = K^{α} (A L)^{1 - α},

其中：

A = A_{K}^{\frac{α}{1 - α}} A_{L} .

这是一种函数形式特例，不能推广为所有生产技术都天然等价。

3. Uzawa定理 I（Theorem 2.6）#

设总量生产技术为 $Y (t) = F (K (t), L (t), A (t))$ ，对 $K, L$ 为 CRS；资源约束：

\dot{K} (t) = Y (t) - C (t) - δK (t) .

劳动以常数 $n$ 增长，并且存在有限 $T$ ，使得对所有 $t \geq T$ ，总产出、总资本、总消费分别以正的恒定速率 $g_{Y}, g_{K}, g_{C}$ 增长。

结论一：

g_{Y} = g_{K} = g_{C} .

结论二： 沿 $t \geq T$ 的该增长路径，存在一个关于资本和有效劳动CRS的函数 $F$ ，使：

Y (t) = F (K (t), A (t) L (t)), \frac{A ˙ ( t )}{A ( t )} = g_{Y} - n .

结论一的证明要点： 将增长路径写作 $K (t) = K_{T} e^{g_{K} (t - T)}$ 、 $Y (t) = Y_{T} e^{g_{Y} (t - T)}$ 、 $C (t) = C_{T} e^{g_{C} (t - T)}$ 。资源约束：

g_{K} K_{T} e^{g_{K} (t - T)} + δ K_{T} e^{g_{K} (t - T)} = Y_{T} e^{g_{Y} (t - T)} - C_{T} e^{g_{C} (t - T)} .

在非退化、正投入与正增长条件下，这个恒等式对所有足够大的 $t$ 同时成立，必须有 $g_{Y} = g_{K} = g_{C}$ 。

结论二的构造思路： 取 $g = g_{Y} - n$ ， $A (t) = A_{T} e^{g (t - T)}$ 。因为 $K (t)$ 与 $A (t) L (t)$ 均以 $g_{Y}$ 增长，故沿路径有一个不变的 $K / (A L)$ 和不变的 $Y / (A L)$ 。借助一次齐次性，可构造与该增长路径一致的劳动增进型生产函数表示。

必须保留的限定： 定理说的是沿BGP可以表示成劳动增进型，并不保证原始技术函数与构造出的函数在路径之外处处相同，也不保证它们的要素偏导数自动相同。

4. Uzawa定理 II（Theorem 2.7）#

在定理 I 的假设基础上，进一步要求竞争性要素市场以及沿BGP的资本租赁价格 $R (t) = R^{*}$ 恒定（等价于给定条件下资本收入份额恒定）。则构造出的劳动增进型表示还能满足路径上的要素边际产出一致性：

F_{K} (K, L, A) = F_{K} (K, A L),

F_{L} (K, L, A) = A F_{L} (K, A L) . (2.43)

此处右侧第二个参数是 $A L$ ，因此按链式法则对原始劳动 $L$ 求导会多出一个 $A$ 。该定理比定理 I 强：它不仅关注产出路径，还把要素价格与收入份额纳入分析。

5. 劳动增进型技术进步的标准Solow模型（§2.7.3）#

此后采用：

Y (t) = F (K (t), A (t) L (t)) .

设：

\frac{A ˙}{A} = g, \frac{L ˙}{L} = n,

故：

A (t) = A (0) e^{g t}, L (t) = L (0) e^{n t} .

定义每单位有效劳动拥有的资本与产出：

\hat{k} = \frac{K}{A L}, \overset{y}{^} = \frac{Y}{A L} = f (\hat{k}) .

实际每单位劳动产出满足：

y = \frac{Y}{L} = A f (\hat{k}) .

由于 $A$ 随时间增长，即使 $\hat{k}$ 不变， $y$ 也可以持续增长。

6. 有技术进步时的基本运动方程（式2.51）#

从 $\hat{k} = K / (A L)$ 出发，取对数：

ln \hat{k} = ln K - ln A - ln L .

对时间求导：

\frac{k ^ ˙}{k ^} = \frac{K ˙}{K} - g - n .

由 $\dot{K} = s Y - δK$ ：

\frac{k ^ ˙}{k ^} = s \frac{Y}{K} - (δ + n + g) .

因为 $Y / K = f (\hat{k}) / \hat{k}$ ：

\dot{\hat{k}} = s f (\hat{k}) - (δ + n + g) \hat{k} . (2.51)

其中三种维持有效资本劳动比所需的投资分别为：

$δ \hat{k}$ ：补偿旧资本的物理折旧；
$n \hat{k}$ ：为新劳动者配置资本；
$g \hat{k}$ ：跟上每单位劳动效率的增长。

7. 唯一正BGP及增长率（Proposition 2.11）#

平衡增长路径上 $\hat{k}$ 不变，因此：

s f (\hat{k}^{*}) = (δ + n + g) \hat{k}^{*} . (2.52)

对于 Cobb–Douglas 劳动增进型生产函数：

Y = K^{α} (A L)^{1 - α}, 0 < α < 1,

有 $f (\hat{k}) = \hat{k}^{α}$ ，于是：

\hat{k}^{*} = (\frac{s}{δ + n + g})^{\frac{1}{1 - α}} .

\overset{y}{^}^{*} = (\frac{s}{δ + n + g})^{\frac{α}{1 - α}} .

实际人均产出为：

\frac{Y ( t )}{L ( t )} = A (0) e^{g t} \overset{y}{^}^{*} .

故在BGP上：

变量	长期增长率
技术 $A$	$g$
劳动 $L$	$n$
总产出 $Y$ 、总资本 $K$ 、总消费 $C$	$n + g$
实际人均产出 $Y / L$ 、人均资本 $K / L$ 、人均消费 $C / L$	$g$
每单位有效劳动产出 $Y / (A L)$ 、资本 $K / (A L)$	$0$
资本产出比 $K / Y$ 、资本租赁价格 $R$	$0$
工资 $w$	$g$

最核心结论：

g_{Y / L} = g .

这里的 $g$ 是劳动增进型技术进步率；它是外生给定的，基础索洛模型不解释技术创新是如何发生的。

8. 技术进步条件下的黄金律（推导补充）#

虽然原书 §2.2 的黄金律首先在无人口增长、无技术进步下提出，也可将同一稳态消费逻辑用于有效劳动模型。

稳态每单位有效劳动消费：

\overset{c}{^}^{*} = f (\hat{k}^{*}) - (δ + n + g) \hat{k}^{*} .

最大化 $\overset{c}{^}^{*}$ ：

f^{'} (\hat{k}_{gold}) = δ + n + g .

对于 $f (\hat{k}) = \hat{k}^{α}$ ，将黄金律条件和稳态储蓄条件联立，再得：

s_{gold} = α .

这项是对黄金律公式的自然扩展，不是将原书式 (2.23) 中的 $δ$ 不加说明直接替换。

9. 比较静态与动态调整（Propositions 2.12—2.13；§2.8）#

令：

\hat{k}^{*} = \hat{k}^{*} (A (0), s, δ, n, g) .

在标准劳动增进型技术设定下，初始技术水平 $A (0)$ 不影响每单位有效劳动的稳态资本：

\frac{\partial k ^ ^{*}}{\partial A ( 0 )} = 0.

同时：

\frac{\partial k ^ ^{*}}{\partial s} > 0, \frac{\partial k ^ ^{*}}{\partial δ} < 0, \frac{\partial k ^ ^{*}}{\partial n} < 0.

较高的技术增长率 $g$ 使保本投资增加、 $\hat{k}^{*}$ 降低，但不能因此断言实际人均收入会降低：因为人均收入还受到 $A (t)$ 增长路径的影响。

Proposition 2.13 进一步证明，从任何 $\hat{k} (0) > 0$ 出发，经济都将渐近收敛到唯一的正BGP。

比较静态只对比参数变化前后的稳态水平；比较动态研究整个调整过程。例如永久提高储蓄率：冲击发生当期资本不能跳变，但投资份额立即上升、消费份额立即下降；随后资本积累加快，产出逐步提高，最终新的长期人均增长率仍然是 $g$ 。

暂时性储蓄冲击则使资本先偏离原BGP，冲击消失后再朝原BGP收敛。

七、索洛模型与数据：增长核算#

1. 从理论模型转向数据（Chapter 3；§3.1）#

第 2 章解释了资本如何积累以及什么决定长期增长；第 3 章进一步探讨：这些模型机制能否解释历史增长和国家间收入差异？

必须区分两个研究问题：

增长核算（Growth Accounting）： 将同一经济体不同时期的产出增长，分解为投入增长和生产率增长；
发展核算（Development Accounting）： 将不同国家同一时期的收入水平差异，分解为要素投入与生产率差异。

2. 增长核算的全微分推导#

考虑连续时间生产函数：

Y = F (K, L, A) .

全微分：

\dot{Y} = F_{K} \dot{K} + F_{L} \dot{L} + F_{A} \dot{A} .

两边同除以 $Y$ ：

\frac{Y ˙}{Y} = \frac{F _{K} K}{Y} \frac{K ˙}{K} + \frac{F _{L} L}{Y} \frac{L ˙}{L} + \frac{F _{A} A}{Y} \frac{A ˙}{A} . (3.2)

定义增长率 $g_{Y} = \dot{Y} / Y$ 、 $g_{K} = \dot{K} / K$ 、 $g_{L} = \dot{L} / L$ 。再定义生产率增长对总产出增长的贡献：

x \equiv \frac{F _{A} A}{Y} \frac{A ˙}{A} .

如果生产要素市场竞争，则：

α_{K} = \frac{R K}{Y} = \frac{F _{K} K}{Y}, α_{L} = \frac{w L}{Y} = \frac{F _{L} L}{Y} .

因此得到增长核算基本方程：

x = g_{Y} - α_{K} g_{K} - α_{L} g_{L} . (3.3)

经济含义： 产出增长减去资本增长贡献和劳动增长贡献，剩余部分是模型意义下不能被观察到的资本和劳动数量变化解释的产出增长。

3. Cobb–Douglas函数与TFP增长率#

若生产函数是 Hicks 中性：

Y = B K^{α} L^{1 - α},

取自然对数：

ln Y = ln B + α ln K + (1 - α) ln L .

对时间求导：

\frac{Y ˙}{Y} = \frac{B ˙}{B} + α \frac{K ˙}{K} + (1 - α) \frac{L ˙}{L} .

故：

\frac{B ˙}{B} = g_{Y} - α g_{K} - (1 - α) g_{L} .

如果技术采用劳动增进型写法：

Y = K^{α} (A L)^{1 - α},

则：

g_{Y} = α g_{K} + (1 - α) g_{L} + (1 - α) g_{A} .

因此：

g_{TFP} = (1 - α) g_{A} .

这里 $g_{A}$ 是劳动增进型技术增长率，而左侧是 Hicks 中性TFP的增长率，不能把二者当作同一个概念。

4. 离散数据与平均要素收入份额#

现实数据大多以年、季度等离散间隔记录。原书式 (3.5) 用期初、期末要素收入份额的均值改善近似：

\overset{x}{^}_{t + 1, t} = g_{Y, t + 1, t} - \overset{α}{ˉ}_{K, t + 1, t} g_{K, t + 1, t} - \overset{α}{ˉ}_{L, t + 1, t} g_{L, t + 1, t} . (3.5)

其中：

\overset{α}{ˉ}_{K, t + 1, t} = \frac{α _{K} ( t ) + α _{K} ( t + 1 )}{2},

劳动份额同理。此式属于离散时间增长核算近似，不是对有限跨度变化无条件精确的恒等式。

5. 索洛余值的局限#

原书引用 Abramovitz 将索洛余值称为对“尚未解释部分”的度量。实践中：

劳动力数量可能未充分反映教育、技能和工作经验变化；
资本数量可能未准确反映设备质量、资本利用率与相对价格变化；
GDP的实际价值、质量改进可能存在统计误差；
被遗漏的市场结构和资源配置效率变化可能被归入余值。

因此，核算意义下的TFP增长不完全等于纯粹的技术创新。理论增长核算是在给定生产函数、要素价格与数据测量条件下进行的分解，并不自动识别因果机制。

八、收敛理论与增长回归#

1. 绝对收敛与条件收敛（§3.2）#

绝对收敛（Absolute Convergence）： 当各国具有相同的稳态决定因素时，资本相对稀缺的国家预期具有较快的过渡期增长。

条件收敛（Conditional Convergence）： 不同国家可以有不同的稳态；每个国家向自己的长期路径靠近。较低初始收入并不自动意味着较高增长率，只有控制稳态差异以后，才能得到稳态缺口与增长速度之间的负相关关系。

2. 收敛速度的推导（式3.7—3.10）#

沿技术增进型索洛模型：

\hat{k} = \frac{K}{A L}, y = A f (\hat{k}) .

资本动态为：

\frac{k ^ ˙}{k ^} = s \frac{f ( k ^ )}{k ^} - (δ + n + g) .

定义资本产出弹性：

ε_{k} (\hat{k}) \equiv \frac{f ^{'} ( k ^ ) k ^}{f ( k ^ )} \in (0, 1) . (3.9)

将增长率函数定义为：

Ψ (z) = s \frac{f ( e ^{z} )}{e ^{z}} - (δ + n + g), z = ln \hat{k} .

在正稳态 $z^{*} = ln \hat{k}^{*}$ 附近对 $Ψ (z)$ 进行一阶泰勒展开：

Ψ (z) \approx Ψ (z^{*}) + Ψ^{'} (z^{*}) (z - z^{*}) .

由于 $Ψ (z^{*}) = 0$ ，只需计算一阶导数：

Ψ^{'} (z) = s \frac{f ( k ^ )}{k ^} [\frac{f ^{'} ( k ^ ) k ^}{f ( k ^ )} - 1] = s \frac{f ( k ^ )}{k ^} [ε_{k} (\hat{k}) - 1] .

在稳态， $s f (\hat{k}^{*}) / \hat{k}^{*} = δ + n + g$ ，故：

Ψ^{'} (z^{*}) = - (1 - ε_{k}^{*}) (δ + n + g) .

定义局部收敛速度：

λ = (1 - ε_{k}^{*}) (δ + n + g) > 0.

所以：

\frac{k ^ ˙}{k ^} \approx - λ (ln \hat{k} - ln \hat{k}^{*}) .

再由 $y = A f (\hat{k})$ ，得到：

\frac{y ˙}{y} = g + ε_{k} (\hat{k}) \frac{k ^ ˙}{k ^} .

对人均收入与BGP收入之比进行对数线性化，有：

ln y - ln y^{*} (t) \approx ε_{k}^{*} (ln \hat{k} - ln \hat{k}^{*}) .

因此：

\frac{y ˙}{y} \approx g - λ [ln y - ln y^{*} (t)] . (3.10)

式 (3.10) 表明，人均产出增长率包含两部分：外生技术增长率 $g$ ；以及由相对BGP的距离驱动的过渡增长项。

3. Cobb–Douglas收敛速度与半衰期（Example 3.1）#

若 $f (\hat{k}) = \hat{k}^{α}$ ，则 $ε_{k} = α$ ，从而：

λ = (1 - α) (δ + n + g) . (3.11)

例如取 $α = 1/3$ 、 $δ = 0.05$ 、 $n = 0.01$ 、 $g = 0.02$ ，则：

λ = \frac{2}{3} \times 0.08 \approx 0.0533.

在局部线性化下，对数缺口 $D (t) = ln y (t) - ln y^{*} (t)$ 满足：

D (t) \approx D (0) e^{- λ t} .

若缺口减半所用时间为 $T_{1/2}$ ：

\frac{1}{2} = e^{- λ T_{1/2}} .

所以：

T_{1/2} = \frac{ln 2}{λ} \approx 13.0 年 .

这只是具有相同稳态决定因素的经济体在稳态附近的理论收敛速度，不意味着所有国家间收入差距都必然以这一速度缩小。

4. 从理论到增长回归（§3.2）#

最简单的经验回归：

g_{i, t, t - 1} = b_{0} + b_{1} ln y_{i, t - 1} + ε_{i, t} . (3.12)

其中 $g_{i, t, t - 1}$ 为国家 $i$ 从 $t - 1$ 到 $t$ 的平均增长率。在绝对收敛设定下，理论上预计：

b_{1} < 0.

如果各国有不同稳态，适合的截距会因国而异：

g_{i, t, t - 1} = b_{i 0} + b_{1} ln y_{i, t - 1} + ε_{i, t} . (3.13)

为了利用可观测的国家特征 $X_{i, t}$ 近似刻画稳态差异，采用：

g_{i, t, t - 1} = X_{i, t}^{'} β + b_{1} ln y_{i, t - 1} + ε_{i, t} . (3.14)

这些解释变量可能包括资本投资、教育、人口增长等。 $b_{1} < 0$ 支持条件收敛的统计描述，但不能单凭该系数推断因果关系。

5. 增长回归的经济计量问题#

原书重点讨论：

（1）遗漏变量偏误。 未观察到的制度或技术既影响投资、教育，也影响增长，导致 $X$ 与误差项相关。

（2）内生性。 高经济增长可能促进资本投资、教育和金融发展，因而右侧变量不一定是外生的。

（3）模型解释。 资本积累和投资率既可作为稳态决定因素，又由国家预期和制度决定；回归系数难以直接解释为单一政策的结构参数。

（4）国家间相互依赖。 基础索洛模型假定国家相互隔离，而资本流动、国际贸易与技术传播可能改变收敛规律。

原书还讨论含国家和时间固定效应的面板回归：

ln y_{i, t} = b ln y_{i, t - 1} + X_{i, t}^{'} β + δ_{i} + μ_{t} + ε_{i, t} . (3.15)

国家固定效应可以吸收不随时间变化的国家特征，但无法自动解决所有随时间变化的遗漏变量偏误、反向因果和测量误差问题。

九、具有物质资本与人力资本的扩展索洛模型#

1. 扩展模型的生产函数（§3.3）#

将人力资本 $H$ 作为新的生产要素：

Y = F (K, H, A L) . (3.16)

人力资本包括教育、技能、工作经验和其他提高劳动效率的能力。原书在这一节对生产函数提出扩展版假设（Assumptions $1^{'}$ 、 $2^{'}$ ），以保障两类资本的边际产出性质和正稳态性质。

2. 两类资本的积累方程#

设物质资本投资率为 $s_{K}$ ，人力资本投资率为 $s_{H}$ ：

\dot{K} = s_{K} Y - δ_{K} K,

\dot{H} = s_{H} Y - δ_{H} H .

定义每单位有效劳动资本：

k = \frac{K}{A L}, h = \frac{H}{A L}, \overset{y}{^} = f (k, h) .

依照前面的求导方法，得到：

\dot{k} = s_{K} f (k, h) - (δ_{K} + n + g) k .

\dot{h} = s_{H} f (k, h) - (δ_{H} + n + g) h .

因此模型由一维资本动态扩展为二维资本动态。此处 $k, h$ 都是每单位有效劳动意义下的投入。

3. 稳态与零运动曲线（Proposition 3.1）#

稳态要求：

\dot{k} = 0, \dot{h} = 0.

即：

s_{K} f (k^{*}, h^{*}) = (δ_{K} + n + g) k^{*} . (3.17)

s_{H} f (k^{*}, h^{*}) = (δ_{H} + n + g) h^{*} . (3.18)

第一条曲线称为 $\dot{k} = 0$ 轨迹，第二条称为 $\dot{h} = 0$ 轨迹。原书图3.1在 $(k, h)$ 平面中画出二者及四个区域的运动方向。两条曲线相交给出正稳态。

定义：

D_{K} = δ_{K} + n + g, D_{H} = δ_{H} + n + g .

由隐函数定理，在 $\dot{k} = 0$ 曲线上：

\frac{d h}{d k}_{\dot{k} = 0} = \frac{D _{K} - s _{K} f _{k}}{s _{K} f _{h}} . (3.19)

在 $\dot{h} = 0$ 曲线上：

\frac{d h}{d k}_{\dot{h} = 0} = \frac{s _{H} f _{k}}{D _{H} - s _{H} f _{h}} . (3.20)

在原书假设下，这两个斜率均为正；结合生产函数凹性和边界条件，可证明两条曲线存在且仅存在一个正交点。这是 Proposition 3.1 的主要证明结构。

4. 全局稳定性（Proposition 3.2）#

考察两个动态方程的符号：

在 $\dot{k} = 0$ 曲线的适当一侧，物质资本投入不足、 $\dot{k} > 0$ ；另一侧 $\dot{k} < 0$ ；
在 $\dot{h} = 0$ 曲线的适当一侧，人力资本投入不足、 $\dot{h} > 0$ ；另一侧 $\dot{h} < 0$ 。

将两个方向场结合，得到以唯一正稳态为吸引点的相图。原书在给定假设下证明从正初始资本组合出发的全局稳定性。

这里的全局稳定性证明依赖二维系统的结构与生产函数限制，不能简单将一维的 $G^{'} (k^{*}) < 1$ 当作二维系统的证明。

5. Cobb–Douglas 人力资本扩展（Example 3.2）#

采用：

Y = K^{α} H^{β} (A L)^{1 - α - β}, (3.21)

其中：

α > 0, β > 0, α + β < 1.

因此：

\overset{y}{^} = k^{α} h^{β} .

稳态满足：

k^{*} = \frac{s _{K}}{D _{K}} \overset{y}{^}^{*}, h^{*} = \frac{s _{H}}{D _{H}} \overset{y}{^}^{*} .

分别代入 $\overset{y}{^}^{*} = (k^{*})^{α} (h^{*})^{β}$ ：

\overset{y}{^}^{*} = (\frac{s _{K}}{D _{K}} \overset{y}{^}^{*})^{α} (\frac{s _{H}}{D _{H}} \overset{y}{^}^{*})^{β} = (\frac{s _{K}}{D _{K}})^{α} (\frac{s _{H}}{D _{H}})^{β} (\overset{y}{^}^{*})^{α + β} .

故：

(\overset{y}{^}^{*})^{1 - α - β} = (\frac{s _{K}}{D _{K}})^{α} (\frac{s _{H}}{D _{H}})^{β} .

整理得到：

\overset{y}{^}^{*} = (\frac{s _{K}}{D _{K}})^{\frac{α}{1 - α - β}} (\frac{s _{H}}{D _{H}})^{\frac{β}{1 - α - β}} . (3.23)

再代回资本稳态公式：

k^{*} = [(\frac{s _{K}}{D _{K}})^{1 - β} (\frac{s _{H}}{D _{H}})^{β}]^{\frac{1}{1 - α - β}} .

h^{*} = [(\frac{s _{K}}{D _{K}})^{α} (\frac{s _{H}}{D _{H}})^{1 - α}]^{\frac{1}{1 - α - β}} . (3.22)

经济含义： $s_{K}$ 和 $s_{H}$ 的增加都能同时提高两类资本的稳态水平，因为投入增加先提高产出，较高产出又按固定比例扩大两种资本的新增投资。

十、MRW模型：用扩展索洛模型解释跨国收入差异#

1. 模型设定（§3.4）#

Mankiw、Romer、Weil（1992，简称 MRW）将每个国家视为一个具有独立资本积累过程的索洛经济体，采用：

Y_{j} = K_{j}^{α} H_{j}^{β} (A_{j} L_{j})^{1 - α - β} .

令国家 $j$ 的物质资本和人力资本投资率分别为 $s_{K, j}, s_{H, j}$ ，劳动增长率为 $n_{j}$ ，技术增长率为 $g_{j}$ ，则沿BGP的人均收入为：

y_{j}^{*} (t) = A_{j} (t) (\frac{s _{K, j}}{n _{j} + g _{j} + δ _{K}})^{\frac{α}{1 - α - β}} (\frac{s _{H, j}}{n _{j} + g _{j} + δ _{H}})^{\frac{β}{1 - α - β}} . (3.24)

MRW回归通常进一步要求所有国家具有共同技术进步率 $g$ ，但允许技术初始水平 $\overset{ˉ}{A}_{j}$ 不同：

A_{j} (t) = \overset{ˉ}{A}_{j} e^{g t} .

由此对式 (3.24) 取对数：

ln y_{j}^{*} (t) = ln \overset{ˉ}{A}_{j} + g t + \frac{α}{1 - α - β} ln (\frac{s _{K, j}}{n _{j} + g + δ _{K}}) + \frac{β}{1 - α - β} ln (\frac{s _{H, j}}{n _{j} + g + δ _{H}}) . (3.25)

2. 回归系数的结构解释#

对于物质资本投资变量：

\frac{\partial ln y _{j}^{*}}{\partial ln s _{K, j}} = \frac{α}{1 - α - β} > 0.

对于人力资本投资变量：

\frac{\partial ln y _{j}^{*}}{\partial ln s _{H, j}} = \frac{β}{1 - α - β} > 0.

对于资本维持成本：

\frac{\partial ln y _{j}^{*}}{\partial ln ( n _{j} + g + δ _{K} )} = - \frac{α}{1 - α - β} < 0.

人力资本维持成本具有相同方向的结论。如果两种资本使用相同折旧率，则在人力资本和物质资本投入的分母上都出现 $n_{j} + g + δ$ 。

重要条件： 上述导数是模型给出的稳态比较静态结果。使用跨国回归估计这些系数时，还需要技术差异与右侧回归变量等条件，不能自动获得一致的因果估计。

3. 基础Solow模型与人力资本扩展模型的实证比较#

Acemoglu 摘录并讨论了 MRW 的历史研究结果（原书表3.1—3.2）：

指标	基础Solow回归	加入人力资本的回归
回归隐含的物质资本份额 $α$	约0.59	约0.30
回归隐含的人力资本份额 $β$	—	约0.28
调整后 $R^{2}$	约0.59	约0.78

加入人力资本后，回归拟合改善，且物质资本份额估计更接近典型国民收入份额数据。但是：调整后 $R^{2}$ 较高不等于已证明解释变量对跨国收入差异的因果贡献。

4. 微观教育收益与宏观估计的张力#

原书引用 Mincer型微观工资方程：

ln w_{i} = X_{i}^{'} γ + ϕ S_{i} + u_{i} . (3.27)

其中 $S_{i}$ 是受教育年限， $X_{i}$ 为控制变量。微观研究常发现教育收益率 $ϕ$ 约为 $0.06$ — $0.10$ 。如果两名劳动者的教育年限相差12年：

\frac{w ( S + 12 )}{w ( S )} = e^{12 ϕ} .

取上述范围得到：

e^{0.06 \times 12} \approx 2.05, e^{0.10 \times 12} \approx 3.32.

也就是说，在同质教育收益与其他条件相同的近似下，12年教育差异对应约2—3倍劳动效率或收入差异。而原书讨论的MRW特定回归比较可以隐含约10.8倍的收入差异。

原书据此指出，宏观回归所隐含的人力资本影响可能偏高。其比较需要额外假设，如竞争性工资能够反映边际生产率、教育收益可以跨国比较、以及没有显著的人力资本外部性。

5. MRW方法面临的识别问题#

（1）人力资本投资指标（例如入学率）并不完全等于人力资本存量或教育质量。

（2）技术水平 $\overset{ˉ}{A}_{j}$ 可能与资本投资率、教育水平及人口增长率相关，造成遗漏变量偏误。

（3）稳态假设并不一定适用于处于快速转型、战争或严重危机期间的经济体。

（4）把国家视为相互隔离的封闭经济，忽略技术传播、贸易与资本流动，可能误读观察到的收入差距。

因此，MRW提供了有价值的量化框架，但其回归结果不能替代增长根本原因的识别。

十一、发展核算与跨国生产率校准#

1. 发展核算的基本思路（§3.5）#

相较于利用回归估计投入份额，**校准（Calibration）**方法通常从微观教育回报、要素收入份额以及资本存量数据出发，给定结构参数，再倒推不同国家的生产率差异。

核心生产函数为：

Y_{j} = K_{j}^{α} (A_{j} H_{j})^{1 - α} . (3.29)

这里的 $H_{j}$ 是按效率单位衡量的总劳动／人力资本存量，与 §3.3 将 $H$ 作为独立可积累的生产要素的写法不同。不能在同一公式中把两个定义混用。

2. 生产率水平的代数恢复#

将式 (3.29) 改写为：

\frac{Y _{j}}{K _{j}^{α} H _{j}^{1 - α}} = A_{j}^{1 - α} .

于是：

A_{j} = (\frac{Y _{j}}{K _{j}^{α} H _{j}^{1 - α}})^{\frac{1}{1 - α}} .

它表示在给定生产函数、资本、人力资本数据与 $α$ 后，模型隐含的技术水平，而不是无需假设就能直接观察到的纯技术知识。

对于参考国 $b$ ，还可计算相对技术水平：

\frac{A _{j}}{A _{b}} = [\frac{Y _{j} / Y _{b}}{( K _{j} / K _{b} ) ^{α} ( H _{j} / H _{b} ) ^{1 - α}}]^{\frac{1}{1 - α}} .

3. 物质资本的测量#

资本存量常通过永续盘存法（Perpetual Inventory Method）重建：

K_{t + 1} = (1 - δ) K_{t} + I_{t} .

资本不能与当年的投资额混同。初始资本估计、折旧率、投资品质量变化和相对价格变化，都会影响最终的资本存量计算。

4. 人力资本的测量与Mincer方程#

若人力资本效率随受教育年限 $S_{j}$ 按常数收益率 $ϕ$ 增长：

H_{j} = e^{ϕ S_{j}} L_{j} .

其中 $L_{j}$ 是劳动数量。该方法能够以教育年限将原始劳动折算为效率单位，但没有自动考虑教育质量、培训、工作经验和各国教育收益结构的差异。

原书还介绍教育收益率因教育阶段而异的扩展：

H_{j} = e^{φ (S_{j})} L_{j},

其中 $φ (S_{j})$ 是将不同阶段的边际教育收益进行累积的函数。当边际收益为常数 $ϕ$ 时， $φ (S_{j}) = ϕ S_{j}$ 。

5. 书中图3.2与图3.3的结论#

原书使用历史数据比较各国实际收入与仅根据物质资本、人力资本所预测的收入，并展示相对于美国的技术水平估计。其主要发现是：

物质资本和人力资本确实与收入差异密切相关；
只靠这些投入差异通常不能完全解释不同国家之间的巨大收入差距；
核算得到的生产率差异往往相当显著。

这些结果依赖生产函数的特定形式、教育效率的测量、资本质量估计和对外部性的假设。

6. 不依赖单一Cobb–Douglas份额的近似核算#

原书还讨论使用国家间要素收入份额均值，估计两个国家之间的生产率差异。其思想类似增长核算：利用资本、劳动投入的比例差异，扣除可由要素投入解释的产出差异。

这种近似特别面临两个限制：

（1）不少国家缺少可靠、可比较的资本与劳动收入份额数据；

（2）国家间要素比例差异可能很大，而基于局部微分的近似在差异很大时可能失准。

因此，这种方法并不是无条件比Cobb–Douglas校准更准确。

十二、生产率差异的计量估计与国际贸易方法#

1. 直接估计生产函数（§3.6.1）#

仍考虑：

Y_{j} = K_{j}^{α} (A_{j} H_{j})^{1 - α} .

两边取对数：

ln Y_{j} = α ln K_{j} + (1 - α) ln (A_{j} H_{j}) = α ln K_{j} + (1 - α) ln H_{j} + (1 - α) ln A_{j} .

因此：

ln Y_{j} = α ln K_{j} + (1 - α) ln H_{j} + (1 - α) ln A_{j} .

校勘： 在当前所依据的原书PDF中，式 (3.31) 的最后一项印为 $α ln A_{j}$ ，但它与前面的生产函数式 (3.29) 不一致；按式 (3.29) 的代数展开，最后一项应是 $(1 - α) ln A_{j}$ 。此处按代数恒等式记录，并明确区分于原书的印刷形式。

即使可以对 $ln Y$ 回归 $ln K$ 和 $ln H$ ，仍然不能轻易将误差项解释为无偏的生产率估计。因为未观察到的 $ln A_{j}$ 很可能与 $ln K_{j}, ln H_{j}$ 同时相关，普通最小二乘估计将受到遗漏变量偏误和内生性的影响。

2. 利用国际贸易数据推断生产率（§3.6.2）#

原书介绍Trefler（1993）在 Heckscher–Ohlin 贸易理论框架下对要素生产率差异的估计。

设国家 $j$ 的资本和劳动／人力资本具有不同效率参数：

A_{K, j} K_{j}, A_{H, j} H_{j} .

它们是相应的有效要素供给。国际商品贸易隐含要素的进出口：例如出口资本密集型产品，意味着间接向国外提供资本服务。

在原书的特定假设下，净要素出口满足类似如下约束：

X_{j}^{K} = A_{K, j} K_{j} - c_{j} i \sum A_{K, i} K_{i},

X_{j}^{H} = A_{H, j} H_{j} - c_{j} i \sum A_{H, i} H_{i},

其中 $c_{j}$ 是国家 $j$ 占世界消费的份额； $X_{j}^{K}, X_{j}^{H}$ 为体现在贸易商品中的资本与劳动净要素出口。式子与原书 (3.32) 的思想一致。

该方法依赖同质偏好、贸易摩擦较低、各国有效要素可以按相应价格交易及条件要素价格均等化等假设。因而它提供了另一个理解生产率差异的工具，并非不需要额外识别假设的纯数据估计。

十三、核心概念和公式总表#

1. 三种时间与技术设定下的资本动态#

情形	资本动态	正稳态或BGP条件	人均产出长期增长率
离散时间，无人口与技术增长	$k_{t + 1} = s f (k_{t}) + (1 - δ) k_{t}$	$s f (k^{}) = δ k^{}$	$0$
连续时间，有人口增长，无技术增长	$\dot{k} = s f (k) - (n + δ) k$	$s f (k^{}) = (n + δ) k^{}$	$0$
连续时间，有劳动增进型技术增长	$\dot{\hat{k}} = s f (\hat{k}) - (n + g + δ) \hat{k}$	$s f (\hat{k}^{}) = (n + g + δ) \hat{k}^{}$	$g$
连续时间AK模型	$\dot{k} = (s A - n - δ) k$	正增长时无有限正稳态	$s A - n - δ$

2. 黄金律与增长核算#

无人口增长与技术增长：

f^{'} (k_{gold}) = δ .

有劳动增长、无技术增长：

f^{'} (k_{gold}) = n + δ .

有劳动增进型技术增长：

f^{'} (\hat{k}_{gold}) = n + g + δ .

增长核算：

g_{TFP} = g_{Y} - α_{K} g_{K} - α_{L} g_{L} .